AnalisiS Real

BAB II

BILANGAN riil

Pada pembahasan ini kita akan mendiskusikan struktur aljabar pada sistim bilangan riil. Rumusan ini dicobakan melalui daftar dari sifat-sifat dasar penjumlahan dan perkalian. Daftar ini mewujudkan semua hal yang perlu dari sifat aljabar bilangan real.  Menurut pengertian terminology, aljabar merupakan sebuah sistem dari bilangan real yang disebut group / bidang yang terfokus pada penjumlahan dan perkalian. Sifat tersebut dijelaskan pada poin 2.1.1 yang disebut aksioma bidang.

Melalui sebuah operasi biner sebuah himpunan F, kita masukkan pada sebuah fungsi B dengan domain FxF dan range di F. Kemudian sebuah operasi biner dihubungkan dengan masing-masing pasangan (a,b)  elemen himpunan F sebuah anggota unikb (a,b) di F.

2.1.1 Sifat – sifat aljabar Bilangan Riil

Pada himpunan bilangan riil terdiri dari dua operasi biner, dinotasikan + dan  atau disebut dengan penjumlahan dan perkalian. Operasi ini mengikuti beberapa sifat :

(A₁)               a + b = b + a    " a, b Î R ( sifat penjumlahan komutatif)

(A₂)               (a + b) + c = a + (b + c)   " a, b, c Î R ( sifat penjumlahan asosiatif)

(A₃)                               terdapat elemen 0 Î R sehingga 0 + a = a dan a + 0 = a   " a  Î R (keberadaan elemen 0)

(A₄)               " a Î R $ -a Î R sehingga a + (-a) = 0 dan (–a) + a = 0

(M₁)               a . b = b . a " a, b Î R ( sifat perkalian komutatif)

(M₂)               (a . b) . c = a . (b . c) " a, b, c Î R ( sifat perkalian asosiatif)

(M₃)               terdapat elemen 1 di R dengan 1 , sehingga  berlaku 1 . a = a dan a. 1 = a

(M₄)               " a ¹ 0 Î R $ elemen  di R, sehingga

(D)                

(distributif)

Semua sifat ini harus dikenal oleh pembaca. Poin terpenting dari sifat-sifat diatas adalah semua teknik dan perkalian dari aljabar dapat dibagi dari 9 sifat. Untuk menjelaskan hal tersebut membutuhkan waktu yang lama dan kita tidak akan membahasnya sekarang, tetapi mengandung pelajaran bagaimana pembuktian dari proses yang dilakukan. Untuk menjelaskan dasar dari pengertian dari sifat-sifat diatas, kita akan menarik kesimpulan beberapa dasar tapi penting dan konsekuen.

Kita mulai dengan pembuktian elemen 0 dan1, yang ada pada pernyataan (A3) dan (A4) merupakan rumuan yang unik.

2.1.1 Teorema

(a)   Jika z, aÎR sehingga z + a = a, maka z = 0.

(b)   Jika a dan b ¹ 0 Î R sehingga u.b = b, maka u = 1.

Bukti:

(a)   z + a = a maka z = 0, " z, a Î R

Misal z + a = a

Karena  aÎR, menurut (A₄) $ -aÎR '

sehingga,

 z + (a) + (-a) = a + (-a)

Û z + (a + (-a)) = 0 …………. (A₂ dan A₄)

Û             z + 0 = 0 …………. (A₄)

Û                  z  = 0 …………. (A₃)

(b)   u, bÎR, b ¹ 0

Karena b ¹ 0 menurut (M₄) $ ÎR, sehingga

2.1.2 Teorema

(a)   jika a, bÎR, a + b = 0 maka b = -a

(b)   jika a ¹ 0 dan bÎR,

bukti :

(a)   jika a + b = 0, kemudian ditambah –a diantara kedua sisinya, maka :

(-a) + (a + b) = (-a) = 0

Jika kita gunakan (A2), (A4), dan (A3) pada sisi sebelah kiri akan menghasilkan :

 (-a) + (a + b) = ((-a) + a) + b = 0 + b = b

Jika kita gunakan (A3), pada sisi sebelah kanan akan diperoleh :

(-a) + 0 = -a

Jadi dapat dismpulkan bahwa

b = - a

(b)     

Jika kita lihat dari sifat-sifat sebelumnya pada symbol-simbol persamaan. (A4) dan (M4) memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan a + x = 0 dan a . x = 1 ( ) untuk x dan teorema 2.1.3 mengimplikasikanpenyelesaian yang unik.

2.1.3 Teorema

Misalkan

(a)     adalah solusi untuk

(b)   Jika , persamaan  mempunyai solusi unik  

Bukti :  Gunakan sifat (A2), (A4), dan (A3), mendapatkan :

                                a + ((-a) + b) = (a + (-a) ) + b = 0 + b

yang mengimplikasikan bahwa   adalah solusi dari . Untuk memperlihatkan bahwa hanya satu solusi, bahwa  adalah satu solusi  dan jika ditambah –a dikedua sisi, diperoleh :

Jika digunakan (A2), (A4), dan(A3), maka sisi sebelah kiri menghasilkan :

Terbukti   

2.1.4 Teorema

Jika aÎR maka berlaku:

Bukti:

2.1.5 Teorema

Misalkan a, b, c Î R

Bukti :

(a)                Misalkan , maka 1/a nyata (ada). Jika 1/a = 0, kemudian , bertentangan dengan (M3). Jadi  dan karena

Teorema 2.1.3 (b) menyatakan bahwa .

   

(b)               Jika kita kalikan kedua sisi persamaan  dengan  dan mempergunakan sifat-sifat gabungan (M2), kita dapatkan

Jadi   yang mana sama dengan b = c

(c)                Itu cukup untuk mengira (menganggap)  dan menarik kesimpulan bahwa b = 0 (kenapa???) karena a . b = 0 = a. 0. Pergunakan bagian (b) untuk persamaan a . b = a . 0 untuk menyimpulkan bahwa b = 0 jika

Teorema - teorema diatas mewakili sebuah contoh yang kecil, tapi penting dari sifat-sifat aljabar dari bilangan riil. Banyak konsekuensi tambahan sifat-sifat bidang bilngan riil yang bisa disimpulkan dan beberapa tambahan diberikan dalam latihan.

Operasi pengurangan ditegaskan oleh a – b = a + (-b) untuk a,b dalam bilangan riil, .

Berikutnya kita akan menggunakan angka-angka biasa ini untuk pengurangan dan pembagian dan dengan bebas menggunakan sifat-sifat yang sudah lazim untuk operasi-operasi ini tanpa penjelasan lebih lanjut. Dengan cara yang sama, mulai sekarang secara umum kita akan memasukkan penggunaan titik untuk menunjukkan perkalian dan menulis ab untuk a . b. seperti kita akan menulis  untuk

.

Lebih lazimnya untuk , kita menetapkan

Kita setuju untuk memakai persetujuan bahwa  kita meninggalkan ini sebagai latihan untuk pembaca untuk membuktikan (dengan induksi) bahwa jika , maka

 

Untuk setiap m,, jika , kita akan menggunakan angka-angka , kita akan menulis , ketika hal ini sesuai untuk dilakukan seperti itu.

BILANGAN RASIONAL DAN IRRASIONAL

Kita menganggap sekumpulan bilangan asli sebagai sub himpunan dari bilangan riil, dengan ditandai oleh bilangan asli  dengan n – kelipatan jumlah dari satuan unsur  , dengan cara yang sama, kita menentukan
 dengan unsur nol dari bilangan riil dan kita menentukan n-kelipatan jumlah dari-1 dengan bilangan bulat –n. maka dari itu, kita menganggap N dan Z sebagai sub kumpulan dari bilangan riil.

Unsur-unsur dari bilangan ril yang bisa dituliskan dalam bentuk b/a dimana
 dan , dinamakan bilangan rasional. Kumpulan dari semua bilangan-bilangan rasional dalam bilangan riil akan ditunjukkan dengan notasi Q. Jumlah dan hasil dari dua bilangan rasionaladalah bilangan rasional pula. Dan lebih jauh lagi, sifat-sifat bidang terdaftar pada awal bagian ini bisa ditunjukkan untuk menetapkan Q.

            Fakta bahwa ada unsur-unsur dalam bilangan riil yang tidak dalam Q adalah tidak dengan serta merta jelas kelihatan. Pada awal ke-6 B.C. masyarakat yunani kuno dari ahli Pythagoras menemukan bahwa diagonal dari empat persegi dengan satuan bidang yang tidak bisa diekspresikan sebagai rasio dari bilangan bulat. Dalam pandangan teorema pytagoras untuk segitiga yang benar, ini menyatakan bahwa empat persegi dari jumlah tidak rasional bisa sama 2. Penemuan ini mempunyai pengaruh yang besar pada perkembangan matematika Yunani. Satu konsekuensi bahwa unsur-unsur dari bilangan riil yang tidak ada di Q dikenal bilangan Irrasional.

            Kita tutup bagian ini dengan sebuah bukti dari fakta bahwa tidak ada bilangan rational nyata yang empat perseginya adalah 2. Dalam pembuktian ini kita gunakan angka-angka dari bilangan genap dan ganjil. Mengingat bahwa bilangan asli adalah genap jika dia mempunyai bentuk 2n untuk , dan dia adalah bilangan ganjil jika dia mempunyai bentuk 2n+1 untuk setiap . Setiap bilangan asli baik bilangan genap atau bilangan ganjil dan bukan bilangan asli adalah kedua bilangan genap dan bilangan ganjil.

2.1.7 Teorema

Tidak ada bilangan rasional nyata r seperti 

Bukti :

Misalkan, kontradiksi, bahwa p dan q adalah bilangan bulat seperti . Ini mungkin diasumsikan bahwa p dan q adalah positif dan tidak mempunyai factor-faktor bilangan bulat biasa selain 1. (kenapa??) karena , kita melihat bahwa  adalah bilangan genap. Ini menyatakan bahwa p juga bilangan genap (karena jika p=2n+1 adalah bilangan ganjil, maka kuadratnya  juga bilangan ganjil). Oleh karena itu, disebabkan p dan q tidak mempunyai 2 sebagaimana factor biasa, q harus menjadi bilangan asli ganjil.

Sebab itu kita telah sampai pada kontradiksi fakta bahwa tidak ada bilangan asli yang bisa menjadi bilangan genap dan ganjil.